Αξιολόγηση μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη μορφολογική εξέλιξη αναγλύφου

Περίληψη

Η μορφολογική εξέλιξη μιας κλιτύος μπορεί να περιγραφεί από μια μερική διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει τον χρόνο, τα υψόμετρα σε διάφορους σταθμούς και πληροφορίες για τις φυσικές παραμέτρους. Η ακριβής μορφή της διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται από τη φυσική διαδικασία. Ως εκ τούτου έχουν διατυπωθεί μερικές γραμμικές και μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ώστε να προσομοιώσουν την εξέλιξη του αναγλύφου με το χρόνο, Κάθε διαφορική εξίσωση αντιστοιχεί σε διαφορετική διαδικασία απογύμνωσης. Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν να βρεθούν οι αναλυτικές λύσεις αυτών των εξισώσεων. Στις περισσότερες περιπτώσεις όμως, η πολυπλοκότητα του εδάφους και η μορφή της διαφορικής εξίσωσης είναι τέτοιες ώστε να μην είναι εύκολο να βρεθεί η αναλυτική λύση και η μόνη λύση είναι η αριθμητική. Για να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση αριθμητικά πρέπει να φτιάξουμε έναν αλγόριθμο, επομένως δημιουργούνται ερωτήματα περί της ακρίβειας, της ευστάθειας και της ταχύτητας του αλγορίθμου. Σε αυτή την εργασία δοκιμάζουμε τρεις διαφορετικές αριθμητικές μεθόδους επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων με γεωμορφολογικό ενδιαφέρον και ελέγξαμε προς την αποδοτικότητα τους αλγορίθμους που προκύπτουν. Πρώτα εφαρμόστηκαν οι τρεις αριθμητικές μέθοδοι στην επίλυση της εξίσωσης διάχυσης σε μια απλή μορφή αναγλύφου, για την οποία υπάρχει αναλυτική λύση. Για κατάλληλη επιλογή των παραμέτρων βήμα χρόνου Δt και βήμα απόστασης Δx, οι λύσεις των αριθμητικών μεθόδων είχαν καλή συμφωνία μδε την αναλυτική λύση. Μετά περάσαμε στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων με πραγματικά δεδομένα. Για τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις η μέθοδος Crank-Nicolson είναι η καταλληλότερη, η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών είναι η ταχύτερη αλλά απαιτεί μικρό βήμα χρόνου Δt ενώ η μέθοδος κυβικών spline δεν λειτουργεί ικανοποιητικά στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις λόγω αστάθειας του αλγορίθμου. Στις μη γραμμικές εξισώσεις δεν εφαρμόζεται η μέθοδος Crank-Nicolson. Ο ι ά λλες δ ύο α ριθμητικές μέθοδοι έχουν ικανοποιητική ευστάθεια και σε μερικές περιπτώσεις η μέθοδος κυβικών spline αποδίδει καλύτερα από τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Τα συμπεράσματα αυτής της εργασίας μπορεί να είναι χρήσιμα στη γεωμορφολογική έρευνα με αντικείμενο την ποσοτική περιγραφή χρονικής εξέλιξης αναγλύφου.